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1.1.- Original - 1.2- Traducción [pdf] - Traducción de José María Gavilán Izquierdo. Profesor del Departamento de Didáctica de las Matemáticas de la Universidad de Sevilla

Agradecimientos: a la Dra. Mercedes García Blanco por las sugerencias realizadas. Profesora del Departamento de Didáctica de las Matemáticas de la Universidad de Sevilla
Febrero de 2001

Este glosario está editado por David J. De Vries, compuesto conjuntamente por RUMEC

La Teoría APOS y la Metodología RUMEC están en continuo desarrollo. Un aspecto central de nuestra filosofía es que, lo mismo que consideramos y analizamos la naturaleza de la evolución del conocimiento de un individuo, consideramos y analizamos la naturaleza de nuestro propio conocimiento. Por esta razón la metodología RUMEC y la teoría APOS no son inamovibles. Este documento es un intento de clarificar lo que nuestra comprensión considera ahora adecuado. El lector será precavido, este glosario es diferente de lo anterior y cambiará en el futuro

Las publicaciones de RUMEC usan ciertos términos de forma muy concreta y esos términos tienen un significado muy delimitado. Éstos están definidos en varias publicaciones nuestras, pero los hemos recogido en un sitio para tu conveniencia (y la nuestra). ¡Diviértete

Ciclo de enseñanza ACE:

El constructivismo tiene implicaciones para la enseñanza y el aprendizaje. Frecuentemente la instrucción comienza presentando una situación que creará un desequilibrio en las estructuras que el estudiante tiene ya construidas. En RUMEC, normalmente, el diseño de la instrucción se hace a través de actividades (A) que enfrentan a los alumnos a nuevas situaciones o informaciones. Con este propósito nosotros frecuentemente tenemos a los estudiantes ocupados tanto en la realización de programas de ordenador como en diversas actividades de aprendizaje cooperativo. Parte del propósito de utilizar actividades con ordenador es promover construcciones concretas. Esto es seguido de discusiones en clase (C) generalmente utilizando técnicas de aprendizaje cooperativo para facilitar la asimilación y acomodación. Las tareas de clase a menudo estimulan construcciones a través de la reflexión. Finalmente se asignan al estudiante ejercicios (E) para reforzar y tal vez extender sus ideas

Ejemplo de Ciclo de enseñanza ACE:

En una unidad sobre el teorema de Lagrange en álgebra abstracta, los estudiantes comienzan con una actividad donde se les requiere escribir un programa de ordenador que acepte como entradas un elemento y un subgrupo de un grupo finito y entonces dé como salida la clase a la derecha según el subgrupo del elemento. Ellos entonces usan esta función para investigar las propiedades de esas clases a la derecha y del conjunto de todas las clases laterales de varios grupos. Parte del propósito de esta actividad es ayudar a los estudiantes a construir una concepción proceso de clase lateral. Las actividades de clase entonces implican reflexión sobre lo que ellos han determinado y observar que las clases laterales de un subgrupo concreto tienen el mismo número de elementos y son idénticas o disjuntas. Esta reflexión es importante para promover una concepción objeto del conjunto de clases laterales. Esto es seguido por una demostración del teorema de Lagrange en forma de discusión en grupo. Después a la clase se le proponen ejercicios tales como "prueba que cualquier grupo de orden potencia de un primo no tienen subgrupos propios"

Acción/ Concepción Acción:

Una acción es una transformación de un objeto que es percibida por el individuo como externa. La transformación es llevada a cabo por reacción a una indicación externa que da precisos detalles sobre los pasos a dar. Decimos que un individuo está a nivel de una concepción acción de una transformación dada, si su profundidad de comprensión está limitada a realizar acciones para llevar a cabo esa transformación. Debe indicarse que alguien con una profunda comprensión de una transformación puede realizar bien acciones cuando es apropiado pero no está limitado a realizar acciones

Ejemplos de Acciones/ Concepción acción:

1.- Uno realiza una acción cuando dada una fórmula para una función y un punto, uno calcula el valor de la función en ese punto. Un estudiante que es incapaz de interpretar una situación como una función a no ser que tenga una única fórmula para computar valores está limitado a una concepción acción de una función. En tal caso el estudiante es incapaz de hacer cosas con esa función excepto evaluarla en puntos concretos y manipular la fórmula

2.- Dado un grupo concreto con una operación binaria algorítmica aplicable, un subgrupo concreto y un elemento particular, una acción es calcular los elementos de la clase a la izquierda según el subgrupo conteniendo ese elemento. Comprender las clases laterales en teoría de grupos solamente como un conjunto de cálculos que son efectivamente realizados para obtener un conjunto determinado es una concepción acción

3.- Una acción es resolver una ecuación dada siguiendo los pasos de un ejemplo para una ecuación similar. Si uno sólo comprende la resolución de una ecuación siguiendo un ejemplo que puede ser imitado entonces está a nivel de concepción acción para la resolución de una ecuación. El ejemplo utilizado puede ser un ejemplo previamente memorizado

4.- Dada la regla general para encontrar la derivada de una función polinómica, y dada una función polinómica concreta una acción podría ser encontrar la derivada por sustitución de los números en la formula general. Uno está a nivel de concepción acción para la diferenciación si sólo es capaz de encontrar la derivada de una función cuando cada paso es externamente proporcionado (por la memoria, por ejemplo, o mirando en una lista de reglas) por una regla que es aplicada y sólo se tiene que introducir los números concretos

5.- Una acción es calcular la desviación estándar de un conjunto concreto de datos dada la fórmula. Si la compresión de uno de la desviación estándar está limitada a la habilidad de calcular la desviación estándar de un conjunto particular dada la fórmula entonces decimos que uno está limitado a una concepción acción de la desviación estándar

Constructivismo:

Como es válido para todas las definiciones de este glosario, estamos intentando clarificar cómo los investigadores de RUMEC usan el término y no queremos dar una definición general de constructivismo. RUMEC conduce sus investigaciones desde el punto de vista de que la comprensión de un individuo de los conceptos matemáticos resulta de la construcción o reconstrucción de acciones matemáticas, procesos, y objetos y organiza éstos en esquemas a fin de usarlos en situaciones de resolución de problemas. El progreso en la comprensión se hace generalmente haciendo una reconstrucción en una situación problemática donde el problema es similar pero diferente de manera importante de situaciones problemáticas previas. La reconstrucción no es exactamente la misma como la que existía previamente, y puede de hecho contener uno o más avances a un nivel más sofisticado. Un aspecto más de nuestra aproximación es la creencia de que la construcción o reconstrucción de estructuras existentes se realiza por tener lugar en un contexto social. Nuestro punto de vista está relacionado con las ideas piagetianas de desequilibración, acomodación, asimilación, reflexión, la triada y desarrollo de esquemas. De hecho nuestra perspectiva teórica es en sí misma el resultado de una reconstrucción de nuestra comprensión de la teoría de Piaget para extender esta teoría al aprendizaje de las matemáticas después de la secundaria

Ejemplos de Constructivismo:

1.- Nuestra teoría constructivista sobre cómo aprenden matemáticas los no licenciados lleva a estrategias instruccionales que son diseñadas para fomentar construcciones concretas. El ciclo de enseñanza ACE, descrito en este glosario, es un ejemplo de tales estrategias. El uso de aprendizaje cooperativo y realización de programas de ordenador son ejemplos de estrategias diseñadas para estimular la reflexión que nosotros vemos como la principal herramienta para construir nueva comprensión

2.-En orden a comprender la demostración del Teorema de Lagrange en álgebra abstracta, uno debe tener una concepción objeto del conjunto de clases de equivalencia. Esto es necesario para que uno pueda cotejar los elementos de este conjunto y también contarlos. Creemos que se alcanza tal concepción objeto a través de la construcción de procedimientos que involucran acciones, procesos y reflexión

Descomposición Genética:

El primer paso en la metodología RUMEC está dedicado a un análisis teórico de un concepto matemático en términos de las construcciones mentales que un aprendiz puede hacer en orden a desarrollar la comprensión del concepto. El resultado de este análisis teórico se denomina descomposición genética para el concepto. Es una detallada descripción de las construcciones mentales que un individuo puede hacer para trabajar con éxito con un concepto matemático concreto. Se debe indicar que una descomposición genética para un tema concreto no puede ser asumida como única (Vidakovic, 1.993). Para un concepto concreto en estudio, nosotros presentamos una descomposición genética que está basada en un marco teórico de aprendizaje general, la totalidad de nuestras observaciones y experiencias, y nuestra propia comprensión de las matemáticas implicadas. Esto nos sirve como un posible "guía del camino/mapa a recorrer" por alguien que aprende este concepto. Muchos de los términos específicos de la terminología usada en nuestra descomposición genética están discutidos en este glosario.

Ejemplo de Descomposición Genética:

En el contexto del álgebra abstracta, las construcciones mentales que un estudiante puede hacer en la construcción de una comprensión de clases laterales según un subgrupo incluye los siguientes aspectos. Dado un elemento x y un subgrupo H de un grupo G, si un individuo piensa generalmente de la clase lateral (a la izquierda) según de H determinada por x como un proceso de operar con x sobre cada elemento de H, entonces este proceso puede ser encapsulado a un objeto xH. Con semejante concepción objeto, las clases laterales pueden ser nombradas y pueden realizarse operaciones sobre ellas. Varias acciones sobre las clases laterales según H, tales como contar su número, comparar sus cardinales, y la realización de operaciones puede tener sentido para el individuo que tiene una concepción objeto de clase lateral. La relación entre las concepciones proceso y objeto de las clases laterales con respecto a, por ejemplo, controlar la intersección de 2 clases laterales es como sigue. Ser capaz de pensar sobre el problema de investigar la intersección de cualesquiera dos clases laterales implica la interpretación como objetos de las clases laterales. La determinación concreta de la intersección requiere que esos objetos sean desencapsulados en la mente del individuo y así hacer uso de las propiedades de los procesos de los que provienen esos objetos (un cierto tipo de formación de conjuntos en este caso)

Objeto/ Concepción Objeto:

Los individuos pueden construir objetos cognitivos de dos formas. Cuando un individuo reflexiona sobre acciones aplicadas a un proceso concreto, llega a ser consciente del proceso como una totalidad, se da cuenta que la transformación (que es acción o proceso) puede actuar sobre él, y es capaz realmente de construir tal transformación, entonces nosotros decimos que el individuo ha reconstruido este proceso como un objeto cognitivo. En este caso decimos que el proceso ha sido encapsulado en un objeto. Una segunda forma de construir un objeto cognitivo sucede cuando un individuo reflexiona sobre un esquema, llega a ser consciente del esquema como una totalidad, y es capaz de realizar acciones sobre él, entonces decimos que el individuo ha tematizado el esquema en un objeto. Decimos que un individuo tiene una comprensión al nivel de concepción objeto de un concepto matemático cuando la profundidad de comprensión del individuo de una idea o concepto incluye esa idea o concepto como un objeto. El individuo es capaz de realizar acciones sobre el objeto. Tal individuo es capaz también de desencapsular un objeto en el proceso del cual proviene cuando es necesario, o en el caso de un esquema tematizado deshacerlo en sus distintos componentes

Ejemplos de Objetos/ Concepciones objeto:

1.- Un individuo que es capaz de pensar en una función como suma de dos funciones sin referencia a ejemplos concretos está pensando en una función como un objeto. Uno tiene una concepción objeto de una función si uno es capaz de pensar en la descomposición de una función en la suma de dos funciones

2.- Un individuo que es capaz de pensar en contar las clases laterales en un grupo finito está pesando en las clase laterales como objetos. Un individuo que es capaz de definir una operación binaria en un conjunto de clases laterales podría estar actuando a nivel de una concepción objeto de clases laterales

3.- Una indicación de que el esquema de la regla de la cadena de un estudiante ha sido tematizado en un objeto es que el estudiante sea capaz de analizar una nueva situación y reconocer cómo y por qué la regla de la cadena está implicada. Tal individuo podría tener una concepción objeto de la regla de la cadena como resultado de tematizar su esquema de la regla de la cadena y podría actuar sobre él combinándola con otras reglas

4.- La geometría Euclídea es un ejemplo de esquema tematizado, que es un objeto para aquel que conoce varias geometrías, se traslada entre ellas, las compara y contrasta y selecciona la geometría apropiada para resolver un problema

5.- Un estudiante que ha tematizado su esquema para resolver ecuaciones algebraicas puede seleccionar los métodos apropiados y comprender las relaciones entre procedimientos para hallar las posibles soluciones y encontrar conjuntos de soluciones

6.- En la diferenciación de funciones uno trata las reglas para diferenciar como objeto cuando reconoce que reglas generales son necesarias y las selecciona y usa correctamente. El estudiante es capaz de combinar reglas y explicar cómo han sido combinadas

7.- Cuando un estudiante es capaz de pensar en términos de una operación binaria genérica que puede ser aplicada en dos o más maneras distintas sobre el mismo conjunto, entonces puede interpretarse el esquema de operación binaria como un objeto

Proceso/Concepción Proceso

Cuando una acción es repetida, y el individuo reflexiona sobre ella, puede ser interiorizada en un proceso. Esto es, una construcción interna se hace y realiza la misma acción, pero ahora no necesariamente dirigida por un estímulo externo. Un individuo que ha construido un proceso puede describirlo, o igualmente invertir los pasos del proceso sin hacer los mismos. En contraste con una acción, un proceso es percibido por el individuo como interno, y bajo su control mas que algo que se hace en respuesta a indicaciones externas. Decimos que un individuo está al nivel de concepción proceso de una transformación dada, si la profundidad de su comprensión está limitada a pensar sobre la transformación como un proceso

Ejemplos de proceso/Concepción Proceso:

1.- Se realiza un proceso cuando se piensa de una función como que recibe entradas y devuelve salidas o imagina los cálculos de valores funcionales sin realmente hacer los cálculos. Un individuo está al nivel de concepción proceso de función si puede diferenciar funciones especificadas por una fórmula pero tiene dificultades con las funciones definidas a trozos por distintas fórmulas algebraica en distintos intervalos del dominio con el objetivo de encontrar la derivada

2.- Un individuo lleva a cabo un proceso cuando puede imaginar la construcción de clases laterales a la derecha dado un subgrupo, y no tiene que hacer todas las construcciones. Se está al nivel de concepción proceso de las clases laterales si se es capaz de imaginar la formación de clases laterales a la derecha, pero se tiene dificultad para definir una operación binaria sobre esas clases laterales

3.- Un individuo realiza un proceso cuando resuelve una ecuación guiado por el formulario que puede dar la solución. En este caso, un individuo es capaz de describir los pasos necesarios para resolver una ecuación sin realmente hacerlos. Tal estudiante puede también ser capaz de invertir los pasos para mostrar que una posible solución es en realidad una solución. Uno está a nivel de concepción proceso de la resolución de una ecuación si tiene un proceso para encontrar la solución, pero no es capaz de realizar una acción sobre el conjunto solución sin realmente encontrar las soluciones

4.- Uno realiza un proceso cuando encuentra la función derivada de una función dada usando las reglas estándares. Se tiene al menos una concepción proceso de la diferenciación si puede encontrar la derivada de funciones estándares pero no puede utilizar la idea de la derivada segunda de una función a no ser que haya calculado la derivada primera para una función concreta

Abstracción reflexiva:

Abstracción reflexiva es un concepto introducido por Piaget para describir la construcción de las estructuras lógico-matemáticas por un individuo durante el curso del desarrollo cognitivo. La abstracción reflexiva proviene de dos mecanismos que están necesariamente asociados. Son proyecciones hacia un nivel superior de lo que era derivado de un nivel inferior, y en segundo lugar reflexión que reconstruye y reorganiza dentro de un sistema mayor que es transferido/trasladado por proyección (Piaget y García en Psicogénesis e Historia de la Ciencia [ver p. 247])

Ejemplos de Abstracción Reflexiva:

1.- Interiorización de una acción: La construcción mental de un proceso interno (una totalidad coherente) relativa a una serie de acciones sobre objetos cognitivos que pueden ser realizadas o imaginar que se realizan en la mente sin que sea necesario realizar todos los pasos concretos. En este caso decimos que la acción ha sido interiorizada en un proceso

2.- Encapsulación: Encapsulación es la transformación mental de un proceso (que es la interiorización de alguna acción) en un objeto cognitivo. Este objeto puede ser visto como una entidad total (o totalidad coherente) y puede ser afectado/transformado (mentalmente) por acciones o procesos. En este caso decimos que un proceso ha sido encapsulado en un objeto. Desencapsulación es el proceso mental de volver atrás (retroceder) desde un objeto al proceso del cual el objeto fue encapsulado                                                                                                                    3.-Tematización de un esquema: Cuando uno reflexiona sobre la comprensión misma de un esquema, viéndolo como "un todo", y es capaz de realizar acciones sobre el esquema, entonces decimos que el esquema ha sido tematizado en un objeto. (Piaget y García dicen que un cambio de uso, o aplicación implícita a uso consecuente, y conceptualización constituye lo que ha llegado a ser conocido bajo el término "tematización" [página 105, en Piaget y García]

Esquema

Un esquema para una determinada parte de matemáticas es una colección de acciones, procesos, objetos y otros esquemas que están relacionados consciente o inconscientemente en una estructura coherente en la mente del individuo y que puede ser evocado para tratar una situación problemática que involucra ese área de la matemática. Una importante función y definitiva característica de la coherencia es su uso en determinar qué está en el ámbito del esquema y qué no

Ejemplos de esquemas:

1.- Un estudiante puede tener un esquema para resolver ecuaciones que incluya varios métodos a través de transformar las ecuaciones y una concepción de lo que significa resolver una ecuación

2.- Un esquema de un individuo para diferenciación puede incluir varias reglas para encontrar la derivada de una función

3.- Un esquema para grupos podría ser la coordinación de otros esquemas que puede incluir un esquema para conjuntos así como un esquema para operaciones binarias

4.- Un individuo puede tener un esquema para límites, que permita coordinar de alguna manera representaciones cognitivas de aproximación en el dominio, comprensión de aproximación en el rango, y una concepción de función

5.- Reglas matemáticas, tales como la regla de la cadena para la diferenciación, que requiere coordinar dos o más acciones, procesos, u objetos puede también ser comprendida a través un esquema. La cuestión de comprender tales reglas parece ser más compleja que la simple encapsulación de un proceso en un objeto

Triada del desarrollo de un esquema

Los esquemas se desarrollan a través de estados o niveles en un orden concreto Inicialmente, en el desarrollo de un esquema, está en el estado o nivel intra. Éste es seguido por el estado o nivel inter y finalmente por el estado o nivel trans. Esta terminología fue introducida por Piaget y García en su discusión del desarrollo del conocimiento y nosotros hemos aplicado sus ideas específicamente al desarrollo de un esquema. A veces estos términos son extendidos en orden a reflejar la naturaleza del esquema. Por ejemplo en un esquema geométrico los estados pueden ser referidos como: intrafigural, interfigural y transfigural. En un esquema analítico pueden ser referidos como: intraoperacional, interoperacional y transoperacional. En los ejemplos que siguen podríamos usar estos términos completos cuando corresponde pero generalmente RUMEC simplifica el uso a los términos intra, inter y trans

Estado Intra de desarrollo del esquema:

En el desarrollo de un esquema, el estado intra está caracterizado por centrarse sobre aspectos individuales aislados de otras acciones, procesos y objetos de naturaleza similar. El individuo no ha construido ninguna relación entre ellos

Ejemplos de Estado Intra:

1.- En el desarrollo de un esquema de la regla de la cadena, un estudiante puede usar distintas reglas tales como la regla general de las potencias y no reconocerlas como relacionadas de ninguna manera o como casos especiales de la regla de la cadena

2.- Un estudiante está en el estado intra para una operación binaria cuando es capaz de encontrar los inversos en algunos grupos específicos pero no reconoce ninguna relación entre los procesos de encontrar inversos o verlos como caso especial de la idea general de encontrar inversos

Estado Inter de desarrollo del esquema:

(Un esquema a este nivel o estado es referido como un pre-esquema)

En el desarrollo de un esquema el estado inter está caracterizado por la construcción de relaciones entre acciones, procesos y objetos. Por ejemplo, uno puede comenzar a ver distintos ejemplos como casos especiales de un concepto más general. A este nivel uno comienza a agrupar información de naturaleza similar y quizás hasta los llame por el mismo nombre

Ejemplos de Estado Inter:

1.- Calculando la derivada de una función el estudiante ve la regla general de potencias y otras situaciones especiales tales como aquellas que involucran funciones trigonométricas para las cuales las reglas han sido aprendidas como casos especiales de la "regla de la cadena" y las vincula bajo esa descripción. El estudiante todavía no comprende por qué son casos especiales pero quizás piensa en términos de procedimientos similares implicando entradas y salidas de funciones. Tal estudiante podría estar en el estado inter del desarrollo del esquema de la regla de la cadena

2.- En teoría de grupos uno comienza a ver la propiedad de inverso repetidamente en muchos ejemplos y comienza a recoger esos ejemplos Uno empieza a ver inversos en varias situaciones de forma relacionada, sin embargo todavía no comprende la definición general de inverso de tal manera que sea capaz de aplicarlo a una nueva situación. En este caso el esquema para operación binaria podría estar a nivel inter

Estado Trans de desarrollo del esquema:

El estado trans está caracterizado por tener construida una estructura subyacente completa en la que las relaciones descubiertas en el estado inter son comprendidas y que da al esquema coherencia. Una importante función y característica de la coherencia es usarla en decidir qué está dentro del ámbito del esquema y qué no. En el estado trans la comprensión va desde una lista a una regla. En el estado trans de desarrollo la colección (acciones, procesos... ) puede ahora ser referida como un esquema y ahora tiene la necesaria coherencia y puede ser tematizado

Ejemplos de Estado Trans:

1.- Uno está en el estado trans de desarrollo del esquema de la regla de la cadena si comprende varios caso especiales como aplicación de la regla de la cadena identificando ciertas funciones que están compuestas. El estudiante es también capaz de aplicar la regla de la cadena a nuevas situaciones buscando una composición de funciones. En este caso decimos que el estudiante tiene un esquema para la regla de la cadena

2.- En álgebra abstracta un estudiante tiene un nivel de desarrollo trans para un esquema de grupo cuando el estudiante está guiado por la definición o teoremas relevantes en la determinación de si un cierto subconjunto de un grupo abstracto es también un grupo bajo la misma operación binaria

Nota 1: No hablamos de tematizar un esquema antes de que alcance el estado trans, esto es antes de que llega a esquema. Preferimos pensar en términos de versiones muy débiles de un estado trans. No restringimos el estado trans a algo muy sofisticado, sino que buscamos si de alguna forma el individuo decide lo que está en él y lo que está fuera. Es verdad que esto induce a tematizar esquemas que pueden no funcionar muy bien para el individuo, pero es exactamente lo que sucede y es importante señalarlo con idea de corregirlo, el esquema tiene que ser desempaquetado y reconstruido.

Nota 2: También puede darse alguna confusión cuando se da la misma etiqueta a esquemas con la misma colección de elementos esencialmente, pero con diferentes estructuras subyacentes que les da a ellos coherencia. Por ejemplo, uno puede estar al nivel trans con respecto al esquema de la regla de la cadena para funciones reales de variable real pero en el estado intra con respecto al esquema de la regla de la cadena para funciones de varias variables

Nota 3: Cuando usamos el término esquema sin calificación de estado o nivel, estamos refiriéndonos a un esquema que ha alcanzado el nivel trans de desarrollo

Madurez de un esquema:

Discusiones que involucran la efectividad de un esquema son referidas por la etiqueta "madurez del esquema". Esto es similar a lo que sucede con el concepto de función. Si el proceso se reduce a un proceso sintáctico de organizar símbolos según una fórmula, según ciertas reglas sintácticas, y si es este proceso el que es encapsulado para obtener un objeto, entonces el estudiante termina con una concepción débil de función. Por otra parte, la causa no es un fracaso al encapsular, sino la encapsulación de un proceso que no es muy rico. De manera similar uno puede tematizar un esquema que tiene una estructura de débil coherencia y de este modo uno puede no ser capaz de aplicar el esquema a muchas nuevas situaciones

Ejemplo de Madurez de un Esquema:

Uno puede tener un esquema para la regla de la cadena que permita diferenciar funciones definidas por fórmulas algebraicas estándar pero no ser capaz de reconocer la composición de funciones que involucran funciones definidas por integrales definidas y de este modo es incapaz de aplicar la regla de la cadena. Un esquema débil para la composición de funciones podría llevar a un esquema débil para la regla de la cadena

Otras palabras que eventualmente pueden ser discutidas y añadidas

Asimilación, acomodación, desequilibración, epistemología, aproximación holística, conocimiento matemático, paradigma RUMEC, re-equilibración, reflexión, investigación cualitativa

Action-Process-Object-Schema (APOS) theoretical framework for modeling mathematical mental construction

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