Madrid 21 Marzo, 2002
Sin duda, uno de los mas famosos dibujos de Leonardo da Vinci es el
llamado "hombre de Vitruvio"
Fig 1.
Este dibujo se ha convertido en un auténtico símbolo ya que recoge
varias de las ideas claves del pensamiento renacentista: el hombre
medida de todas las cosas, la belleza ajustada a cánones, equilibrio,
proporción y demás.
El dibujo responde perfectamente al esquema descrito por Vitruvio
"... y también el ombligo es el punto central
natural del cuerpo humano, ya que si un hombre se echa sobre la
espalda, con las manos y los pies extendidos, y coloca la punta de un
compás en su ombligo, los dedos de las manos y los de los pies tocarán
la circunferencia del círculo que así trazamos. Y de la misma forma
que el cuerpo humano nos da un círculo que lo rodea, también podemos
hallar un cuadrado donde igualmente esté encerrado el cuerpo humano.
Porque si medimos la distancia desde las plantas de los pies hasta la
punta de la cabeza y luego aplicamos esta misma medida a los brazos
extendidos, encontraremos que la anchura es igual a la longitud, como
en el caso de superficies planas que son perfectamente cuadradas".
(tomado de
http://centros5.pntic.mec.es/ies.juan.de.mairena/leonardovi.htm)
En resumen: un círculo y un cuadrado que delimitan
las dimensiones de la figura humana.
El hombre de Vitruvio y la razón áurea
| ¿Cómo trazó Leonardo el círculo y el
cuadrado? ¿que relación guardan ambas figuras?. |
Estas sencillas preguntas no tienen a mi entender
una respuesta igualmente sencilla. Veamos:
Si seguimos a Vitruvio al pie de la letra hemos de empezar por trazar
el círculo y, como se repite a menudo
(ver p.ej.:
http://www.pntic.mec.es/pagtem/arte/pintura/aurea3.htm
http://ccins.camosun.bc.ca/~jbritton/goldslide/jbgoldslide.htm
http://thealchemicalegg.com/leotaroN.html )
el mismo ombligo divide la altura por la razón áurea por
lo que el lado del cuadrado queda perfectamente definido. Es decir,
sean:
D = diámetro del círculo y por tanto D/2 su radio
L = lado del cuadrado, por tanto: L/D/2 = 2L/D = fi = 1,618033989...
En virtud de esto Leonardo habría construido el cuadrado a partir del
círculo siguiendo una conocida construcción de la razón áurea (ver Fig
2)
| Se halla la mitad del radio
(D/2 = a) y con centro en tal punto medio y radio la distancia al
extremo del radio horizontal se traza un arco que corte al
diámetro vertical, esto nos da el punto p y por tanto el segmento
b de modo que a+b = L lado del cuadrado. |
El cuadrado obtenido por tal procedimiento sin duda
se parece al del original pero..
¿es exactamente así?...
Fig 2
En la figura 3 se presenta el mismo dibujo abajo a la izquierda
comparado con otro en el que el tamaño del cuadrado con relación al
círculo es algo mayor
Fig 3
¿cuál se parece mas al dibujo de Leonardo?... Yo
estimo que el arriba. Y lo creo así cuando me fijo en las dos esquinas
superiores del cuadrado que quedan "cortadas" por el círculo. En el
dibujo original se las aprecia claramente. Si el trazado de Leonardo
se hubiese ajustado a la construcción áurea tales esquinas serían
apenas visibles.
El dibujo de Leonardo y la cuadratura del círculo
Y aquí entra en escena el aporte de Carlos Calvimontes
Sabemos que el problema de la cuadratura del círculo ocupó y preocupó
a Leonardo quien no solo estudió formas mecánicas de resolver el
problema sino que llenó libretas de anotaciones con "cuadraturas".
Según Augusto Marinoni, 'El problema de geometría que absorbió a
Leonardo interminablemente fue la cuadratura del círculo. A partir de
1504 en adelante dedicó cientos de páginas de sus cuadernos a esta
cuestión ... que fascinó a su mentor Pacioli ... . Mientras que estas
investigaciones no produjeron apreciables progresos en matemáticas
Leonardo creó una multiplicidad de complejos y preciosos diseños"
(traducido de
http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit14/unit14.html )
¿Y QUE TIENE QUE VER ESTO CON NUESTRA PREGUNTA
INICIAL?
La respuesta que nos da C.Calvimontes es bien sugestiva:
| el círculo visible en el dibujo de Leonardo
procede de una construcción relacionada con la cuadratura del
círculo. |
Fijémonos en la figura 4:
Fig 4
La propuesta de C.Calvimontes es que el círculo visible de Leonardo
corta al lado del cuadrado del tal forma que el segmento R =
distancia del punto tangente inferior al corte del lado es el radio
de un círculo (oculto en el dibujo de Leonardo) de igual área
que el cuadrado.
Se invita al lector a sacar una copia impresa del dibujo de Leonardo y
verificar sobre él (la copia impresa debe guardar las proporciones)
que la propuesta de C.Calvimontes "si non e vero e ben trovato"
.
Otras comprobaciones adicionales pueden hacerse en base a que el
segmento R queda definido por la relación:
(para cualquier par de valores D y L, si y solo si,
D > L ya que si D<L la raíz es imaginaria y no hay punto de corte).
A partir de tal ecuación general puede deducirse:
Donde f representa la relación entre el lado y el radio del la
figura de Leonardo, es decir:
Con estas herramientas, si C.Calvimontes tiene razón
entonces:
Que difiere de la razón áurea en un 1.5% aprox.
Esta diferencia es por un lado lo suficientemente pequeña como para
haber despistado hasta ahora a mucha gente empeñada en ver la razón
áurea en el ombligo del hombre de Vitruvio, pero también lo bastante
grande como para darnos cuenta que si Leonardo hubiese utilizado la
construcción de la razón áurea expuesta en la figura 2 (construcción
que sin duda conocía) el cuadrado no habría cortado al círculo dejando
las esquinas superiores tan visibles.
La "circulatura" del cuadrado
En este punto, nos volvemos a preguntar: ¿cómo trazó Leonardo el
círculo y el cuadrado de su dibujo?.
A la vista de lo anterior podríamos suponer que siguió las etapas
siguientes:
1. Partió del cuadrado que vemos ...
2. ...halló el círculo de igual área (círculo que permaneció oculto)
3. dibujó luego otro círculo de igual radio pero con centro en el
punto medio del lado-base del cuadrado (ver fig. 4) y hallo los puntos
de corte con los dos lados, derecho e izquierdo, del cuadrado
4. trazó la mediatriz del segmento R y la prolongó hasta cortar el eje
vertical hallando así el centro del círculo que finalmente es que
aparece en su dibujo.
Para recorrer este camino Leonardo se habría planteado en el paso "2"
la cuadratura del círculo a la
inversa, es decir, la circulatura del cuadrado.
C.Calvimontes describe un camino tal como este. Pero lo hace asumiendo
que Leonardo utilizó como apoyo un círculo de diámetro igual a pi. En
este punto yo me permito (con todos mis respetos) discrepar.
Leonardo pudo haber encontrado la circulatura del cuadrado y
utilizarla para su genial dibujo. Y ello sin recurrir al círculo de
diámetro pi.
(obsérvese que resulta algo raro recurrir a un círculo de diámetro pi
cuando, tanto si buscamos la cuadratura del círculo como su inversa,
el problema radica precisamente en halla una construcción de pi)
Las pistas que hacen verosímil la construcción
que a continuación describo son las siguientes:
- ya ha habido autores que han señalado que los
dedos índice y/o anular de las manos de los brazos horizontales
parecen señalar unos puntos concretos de los lados del cuadrado.
Y hay quien ya ha sugerido que señalan precisamente el punto de
corte del "circulo oculto"
con el cuadrado.
- Los puntos señalados por las manos
horizontales están perfectamente alineados con un trazo
horizontal recto (visible) a la altura de las clavículas y
que parece formar la base de la cabeza.
- Hay otros dos trazos rectos horizontales
también visibles en el dibujo: uno de ellos cruza el sexo
y señala evidentemente el centro del cuadrado (dejo a los
historiadores el significado de semejante "centro" tan
estratégicamente ubicado); el otro une los pezones de los
pectorales y resulta estar colocado justo en la mitad de la
distancia del anterior al punto superior de la cabeza, es decir,
los pectorales están a ¾ de la altura.
|
¿Son estas pistas fiables?, ¿de verdad Leonardo
"señaló" su círculo oculto en el propio dibujo? ...
Empecemos por los puntos que si nos dejó
señalados: el centro del cuadrado (el sexo), O, y el
que queda a medio camino hasta la cabeza, los pectorales,
el punto F (ver fig 5). Y sigamos los siguientes pasos:
- Trazar el círculo con centro en F y radio ¼
del lado del cuadrado de partida.
- Trazar los ejes vertical y horizontal con
origen en O y hallar los puntos medios de los segmentos a
izquierda y derecha de O, es decir los puntos M y
M'.
- Unir los vértices superiores del cuadrado con
los puntos M y M'
- Las rectas así trazadas cortan al circulo
anterior en los puntos E y E' que obviamente están
alineados en horizontal. Mi hipótesis es que Leonardo nos dejo
visible al menos una parte de este segmento EE'.
- Prolongar EE' hasta cortar al lado y
obtener así el punto D, precisamente el que está
señalando la mano izquierda (la que vemos a nuestra derecha).
|
Fig 5
| Para continuar debemos ahora fijarnos en la
figura siguiente (la fig 6): |
Fig. 6
Nota: las cotas aparecen multiplicadas por 100 para disponer de mas
cifras significativas. En lo que sigue, no obstante se asume que el
lado del cuadrado de partida vale 1
6. Unir el punto D con el punto medio de
la base del cuadrado J
7. Hallar la mediatriz de DJ y el corte de esta con el eje
vertical, es decir el punto P
8. Con centro en P trazar el círculo de radio PJ =
HD. Este círculo cortará obviamente al lado tanto en H
como en D es decir el punto que señala la mano del
hombre de Vitruvio. |
Esta sería la construcción vista directamente sobre el hombre de
Vitruvio:
Fig. 7
¿SIGUIÓ REALMENTE LEONARDO ESTE CAMINO PARA
OBTENER SU "CIRCULO OCULTO" A PARTIR DEL CUADRADO?
No lo sé . Esta construcción no la he encontrado en ninguna parte. Es
de mi cosecha, siguiendo las pistas que dejo Leonardo. Les dejo a los
historiadores con mas capacidad que yo de rebuscar los papeles de
Leonardo, la tarea de ver si en alguno de sus múltiples cuadernos dejó
alguna pista que permita verificar si fue esta la que realmente usó.
Por el momento, veamos que valor de pi se deduce de esta
circulatura.
Volvamos a la figura 5. Los siguientes segmentos son fáciles de
deducir:
Por Pitágoras en el triángulo FCE
Y aplicando Thales a los triángulos GAB y
GCE
Se tienen así tres ecuaciones con tres incógnitas: v, t
y z de las que al despejar z nos queda:
Que nos da una ecuación de segundo grado en la que tomando la solución
positiva obtenemos:
Ahora ya estamos en disposición de averiguar el valor de y, es
decir la distancia al vértice superior del punto D, que como se
ve es la clave de esta construcción:
Conocido y conocemos x, ya que y =
1-x.
El siguiente paso nos lleva a los dos triángulos rectángulos y
semejantes delimitados por DJ, x y la semibase y por DJ/2
y el punto H:
Despejando r obtenemos:
Como hemos partido de un cuadrado de lado 1 (recuérdese que las
cotas están multiplicadas por 100 en el dibujo) y por tanto área 1
tendríamos, si el círculo hallado "circula" a tal cuadrado, que:
Es decir, pi con un error relativo menor de
10 ppm
(otros prefieren expresar esta aproximación como cociente, tanto mas
próximo a 1 como mejor sea la tal aproximación, en este caso
resultaría = 1.00000989 que por cierto es bastante mejor que el que
aparece en :
http://members.telocity.com/stephenssmith/UCSC/papers/Paper.html
y especialmente en:
http://www.leonardo2002.de/ehome/egeheim/egeheim.html
Por cierto, ¿se han fijado que en esta construcción
no se echa mano de la razón áurea para nada?
¿de verdad no es tentador suponer que Leonardo halló esta
circulatura?
Variaciones sobre el mismo tema
Que el círculo que venimos llamando "oculto" representa una
"cuadratura" o si lo prefieren una "circulatura" es algo en lo que
están de acuerdo tanto C.Calvimontes como Schröer & Irle, autores de
la ya citada y sugestiva página:
http://www.leonardo2002.de/ehome/egeheim/egeheim.html
Por cierto, merece la pena reseñar que esta última
presenta una explicación alternativa sobre el dibujo de Leonardo,
según la cual el círculo y el cuadrado visibles serían miembros de
sendas parejas de círculo y cuadrado asociados de forma iterativa.
Mediante tal ingenioso proceso iterativo, concluyen estos autores, se
obtendría también una cuadratura aproximada. El grado de aproximación
que mencionan es (en su notación) de 1.00037 lo que equivale a unas
370 ppm.
Esta página no detalla algunos puntos interesantes, para los
que me permito sugerir aquí alguna explicación.
La construcción que proponen se basa en dos círculos pequeños con cuyo
auxilio se determinan precisamente los puntos de corte del círculo
visible con el lado superior del cuadrado (fig 8):
Fig 8
Schröer & Irle mencionan que tales círculos tienen
sus respectivos centros en sendos puntos que aparecen apenas visibles
en el trazo recto de la base del cuello. Pero no indican como obtener
por construcción ni el tal trazo recto para el que he ofrecido mas
arriba una posibilidad, ni tampoco como halló Leonardo tales centros.
Bien, una vez mas me atrevo a ofrecer una posibilidad.
Retomemos la construcción tal como la dejamos en la figuras 6 y 7 para
continuar en la figura 9
Fig 9
1. Completar el triángulo D'JD , es
decir el formado por los extremos de los brazos y el tercer
vértice en los pies.
2. Unir los puntos medios de los tres lados de D'JD y
obtener así el triángulo pequeño interior N'CN.
3. Desde los respectivos cortes de los lados CN y CN'
con los segmentos B'M' y BM levantar rectas
verticales hasta cortar al segmento D'D (los "brazos
extendidos"). Tales cortes son los dos centros buscados.
4. Trazar los círculos auxiliares con radio desde su centro hasta
el lateral correspondiente.
5. Los círculos así trazados cortan al lado superior del cuadrado
en los puntos por donde ha de pasar también el
círculo visible
|
Sobre el dibujo original :
Fig 10
¿Qué diferencia hay entre esta construcción y la propuesta por C.
Calvimontes?
No demasiada, la verdad.
Se puede demostrar matemáticamente que mediante esta construcción la
razón f , ya definida mas arriba
del lado del cuadrado al radio del círculo visible vale:
1.64675,
mientras que con la construcción indicada por Carlos se obtiene un f
de
1.64216,
es decir ambas construcciones difieren en solo un 0.28%.
Desde luego es imposible decidir cual de las dos usó Leonardo (si es
que las usó) por la simple comparación con las reproducciones
disponibles de su dibujo. En ambos casos, p.ej., el centro del círculo
visible cae perfectamente sobre el ombligo.
Conclusiones
1. El circulo y el cuadrado visibles en el dibujo de Leonardo no
están casi con seguridad relacionados
exactamente por el número áureo. Tal relación aparece solo
aproximada, coincidencia de la que Leonardo probablemente se percató y
que dejó mas o menos visible, tal vez con el propósito de ocultar un
significado sin duda mas profundo e importante para él.
2. Es mas que probable que el hombre de Vitruvio esté de hecho
señalando el círculo oculto, aquel cuya área es igual a la del
cuadrado visible.
3. El círculo visible señala también al círculo oculto (por su
intersección con el cuadrado o construcciones alternativas) y de paso,
al tener su centro en el ombligo, permite que el dibujo siga el canon
de Vitruvio y por su aproximación a la razón áurea, permite también
incluirlo en la corriente renacentista que dio a la divina proporción
su rango de canon de la belleza.
Nota final:
Este trabajo no habría sido posible sin el de Carlos Calvimontes.
Quiero expresar aquí mi admiración y respeto por su trabajo. El que yo
discrepe con él en cuanto a lo que él denomina "del cuadrado al
círculo" no merma un ápice el valor de su trabajo.
Y por cierto es el turno de los historiadores... espero que Vds le den
continuación a todo esto... |
